第725章可数无穷，不可数无穷 (第3/3页)

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    “如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”

    李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。

    “所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的超越数。”

    “回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”

    首先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。

    1x1.a1a2a3…

    2x2.b1b2b3…

    3x3.c1c2c3…

    通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限数的数表。

    想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。

    这种方法被称为对角线证明。

    令一个实数R的数部分为，，…当0-1时令其为9。

    这个实数R数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。

    以此类推，实数R数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。

    这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的数来自列表中全体实数的一条对角线上。

    最终，这个新的实数与列表中的每一个实数都不同，一张无限长的列表也无法写出全部的实数。

    由疵出与假设不同的矛盾，从而证明实数是不能可数化的。

    实数集与自然数集无法一一对应，它是一个比可数无穷更大的无穷。

    如此便有了三个基本的层次：

    有限，可数无限，不可数无限。

    康托尔将连续统的基数称为c。

    在这之后他做了一些更深入的证明，即线段=直线，直线=平面。

    实数轴【0，1】区域点的数量与整条实数轴一样多，线、面、体都是等价的点集，基数都是连续统的基数c。

    它们都是一样的无限大，维度差异根本无关紧要。

    这意味着能够用一个坐标来唯一确定一个n维连续空间的点，而不需要随着维度增加而添加更多的空间坐标。

    “这个问题有些超纲了，我们当前探究的只是实数轴和连续统，关于线=面=体的反直觉问题暂且略过。”

    李恒的脸颊鼓起来一块，这让他看起来有些像是在吃花生的仓鼠。

    嘎嘣嘎嘣的清脆声响在这间无饶庭院中响起，阿基里斯抬头看去，那棵大红枣树上面的红枣已经只剩下寥寥几个，看起来有种荒凉福

    那些红枣部分到了她的肚子里，大部分都被李恒吞下了肚。

    还好康托尔不在这里，不然大概要跟他们这两个不告而取的家伙打上一架。

    以己度人，要是他自己种的红枣被陌生人跑进来吃了个精光，那她肯定要气的半死。

    “不，他一直在边上看着咱们。”

    李恒抬手指向枣树的根部。

    “这是个脾气很好的老头，跟挂在上的那个大太阳不太一样。”

    阿基里斯闻言看向枣树，她握住胸前的螺旋状钥匙，用那个看不到具体尖赌点对准了那里，终于看到了躺在枣树底下的第三人。

    一个脸上布满皱纹，头发散乱的白发老头子，眼中有着呆滞和茫然，仰着头躺在那里不知道在想些什么。

    “他对我们讨论的东西并不感兴趣，也不在意我们吃掉他种的红枣，只喜欢一个人待着思考自己的问题。”

    “虽然是个精神病老头，但没有什么攻击性，不像上个世界的毕达哥拉斯那样危险。”

    李恒从那棵变得光秃秃的枣树上摘下最后几个红枣，塞到了身旁白发女孩的手掌心里。

    “最后几个了，这可是康托尔亲手种下的好东西，比人参果还厉害的宝贝，闻一闻味道就能获得一念生灭多元宇宙的力量。”

    虽然同样都是可数无穷，但无理代数数和自然数集合、有理数集合当然有很大区别。

    用基数衡量力量层次是一种很粗糙的方法，在无限领域，即使是相同的基数，具备的力量也是差地别。

    这涉及到更复杂的超穷序数和超图灵机的力量层次，从可数无穷到不可数无穷之间还有着极度复杂的结构。

    用有限世界的情况进行类比，一个一千磕血rou大脑和一团一千磕棉花是不一样的，一百亿人组成的智慧文明和一块十亿吨重的石头也是不一样的。

    “噢…这么厉害啊。”

    阿基里斯仔细看了两眼，抬手就把这几颗珍贵的红枣塞进了嘴中，随意地嚼了两下就吞了下去。

    味道确实比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。